Kreisbewegungen
1. Einleitung mit Alltagsbeispielen
Kreisbewegungen sind ein grundlegendes Konzept in der Physik und begegnen uns oft im Alltag.
Alltagsbeispiele:
Karussellfahren: Die Sitze bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit im Kreis.
Reifen am Auto: Während der Fahrt drehen sich die Reifen kontinuierlich.
Uhren mit Zeigern: Die Zeiger drehen sich gleichmäßig um das Zifferblatt.
Hinweis: Bei einer Kreisbewegung bewegt sich ein Objekt auf einer kreisförmigen Bahn, wobei es ständig die Richtung ändert, aber die Geschwindigkeit konstant bleiben kann.
2. Formeln mit Herleitung
Frequenz ( f )
Die Frequenz gibt an, wie viele vollständige Umdrehungen ein Objekt pro Sekunde ausführt.
f = \frac{1}{T}
Herleitung: Die Frequenz ist der Kehrwert der Periodendauer ( T ), da sie angibt, wie oft ein Vorgang in einer Zeiteinheit passiert.
Periodendauer ( T )
Die Periodendauer ist die Zeit, die ein Objekt für eine vollständige Umdrehung benötigt.
[ T = \frac{1}{f} ]
Herleitung: Die Periodendauer ist der Kehrwert der Frequenz, weil sie angibt, wie lange ein einzelner Vorgang dauert.
Bahngeschwindigkeit ( v )
Die Bahngeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Objekt entlang der Kreisbahn bewegt.
[ v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f ]
Herleitung:
Der Umfang eines Kreises beträgt ( U = 2\pi r ).
Die Bahngeschwindigkeit ist der zurückgelegte Weg pro Zeit: ( v = \frac{U}{T} ).
Durch Einsetzen von ( U ) erhalten wir ( v = \frac{2\pi r}{T} ).
Da ( f = \frac{1}{T} ), kann die Formel auch als ( v = 2\pi r f ) geschrieben werden.
3. Tabelle der Formelzeichen, physikalischen Größen und Einheiten
Formelzeichen
Physikalische Größe
Einheit
Symbol
( f )
Frequenz
Hertz
Hz
( T )
Periodendauer
Sekunde
s
( v )
Bahngeschwindigkeit
Meter pro Sekunde
m/s
( r )
Radius der Kreisbahn
Meter
m
( \omega )
Winkelgeschwindigkeit
Radiant pro Sekunde
rad/s
Aufgabe 1: Berechnung der Bahngeschwindigkeit
Ein Radfahrer fährt mit seinem Fahrrad auf einer kreisförmigen Bahn mit einem Radius von ( r = 10 , \text{m} ). Er benötigt ( T = 12{,}5 , \text{s} ) für eine Runde.
Frage: Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit ( v ) des Radfahrers?
Lösung:
Die Bahngeschwindigkeit berechnet sich mit:
[ v = \frac{2\pi r}{T} ]
Einsetzen der gegebenen Werte:
[ v = \frac{2\pi \cdot 10 , \text{m}}{12{,}5 , \text{s}} = \frac{20\pi , \text{m}}{12{,}5 , \text{s}} = \frac{20\pi}{12{,}5} , \text{m/s} = 1{,}6\pi , \text{m/s} \approx 5{,}02 , \text{m/s} ]
Antwort: Die Bahngeschwindigkeit des Radfahrers beträgt ungefähr ( 5{,}02 , \text{m/s} ).
Aufgabe 2: Bestimmung der Frequenz
Ein Objekt bewegt sich auf einer Kreisbahn mit einer Bahngeschwindigkeit von ( v = 2 , \text{m/s} ) und einem Radius von ( r = 0{,}5 , \text{m} ).
Frage: Wie groß ist die Frequenz ( f ) der Bewegung?
Lösung:
Die Frequenz berechnet sich durch Umstellen der Formel für die Bahngeschwindigkeit:
[ v = 2\pi r f \quad \Rightarrow \quad f = \frac{v}{2\pi r} ]
Einsetzen der gegebenen Werte:
[ f = \frac{2 , \text{m/s}}{2\pi \cdot 0{,}5 , \text{m}} = \frac{2}{\pi} , \text{Hz} \approx 0{,}6366 , \text{Hz} ]
Antwort: Die Frequenz der Bewegung beträgt ungefähr ( 0{,}64 , \text{Hz} ).
Hinweis: Bei Kreisbewegungen ist es wichtig, die Zusammenhänge zwischen den Größen ( v ), ( r ), ( T ) und ( f ) zu verstehen, um Aufgaben korrekt lösen zu können.
4. Beispielaufgaben mit Lösungen
Aufgabe 1: Berechnung der Bahngeschwindigkeit
Ein Radfahrer fährt mit seinem Fahrrad auf einer kreisförmigen Bahn mit einem Radius von ( r = 10 , \text{m} ). Er benötigt ( T = 12{,}5 , \text{s} ) für eine Runde.
Frage: Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit ( v ) des Radfahrers?
Lösung:
Die Bahngeschwindigkeit berechnet sich mit:
Einsetzen der gegebenen Werte:
Antwort: Die Bahngeschwindigkeit des Radfahrers beträgt ungefähr ( 5{,}02 , \text{m/s} ).
Aufgabe 2: Bestimmung der Frequenz
Ein Objekt bewegt sich auf einer Kreisbahn mit einer Bahngeschwindigkeit von ( v = 2 , \text{m/s} ) und einem Radius von ( r = 0{,}5 , \text{m} ).
Frage: Wie groß ist die Frequenz ( f ) der Bewegung?
Lösung:
Die Frequenz berechnet sich durch Umstellen der Formel für die Bahngeschwindigkeit:
Einsetzen der gegebenen Werte:
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